1

Ⅱ-3. 닮음의 활용

오른쪽 그림과 같은 [eqn: rm triangleABC]에서 두 점 [eqn: rmD], [eqn: rmF]는 각각 [eqn: rm barAC], [eqn: rm barBD]의 중점이고
[eqn: rm barFE = 8``cm]일 때, [eqn: rm barAF]의 길이는?

① [eqn: 20 rm``cm]	② [eqn: 22 rm``cm]	③ [eqn: 24 rm``cm]

④ [eqn: 26 rm``cm]	⑤ [eqn: 28 rm``cm]

2

오른쪽 그림에서 [eqn: rm barCD]는
[eqn: rm triangleABC]의 중선이고, 두 점 [eqn: rmG], [eqn: rmG']은 각각 [eqn: rm triangleABC],
[eqn: rm TRIANGLE DBC]의 무게중심이다.
[eqn: rm barAB =16``cm]일 때, [eqn: rm barGG']의
길이를 구하시오.

3

오른쪽 그림에서 점 [eqn: rmG]는 [eqn: rm triangleABC]의 무게중심이고 [eqn: rm barEF ⫽barBC]이다. [eqn: rm triangleEDG]의 넓이가 [eqn: 10 rm``cm^2]일 때, [eqn: rm □GDCF]의 넓이는?

① [eqn: 22 rm``cm^2]	② [eqn: 23 rm``cm^2]	③ [eqn: 24 rm``cm^2]

④ [eqn: 25 rm``cm^2]	⑤ [eqn: 26 rm``cm^2]

4

오른쪽 그림과 같은 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 두 점 [eqn: rmM], [eqn: rmN]은 각각 [eqn: rm barAB], [eqn: rm barBC]의 중점이고 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]는 각각 [eqn: rm barAC]와 [eqn: rm barDM], [eqn: rm barDN]의 교점이다.
[eqn: rm triangleAPD]의 넓이가 [eqn: 13 rm``cm^2]일 때, [eqn: rm triangleACD]의 넓이는?

① [eqn: 36 rm``cm^2]	② [eqn: 39 rm``cm^2]	③ [eqn: 42 rm``cm^2]

④ [eqn: 45 rm`cm^2]	⑤ [eqn: 48 rm``cm^2]

5

오른쪽 그림과 같이 두 밑면의 넓이의 비가 [eqn: 16:9]인 원뿔대 모양의 그릇이 있다. 이 그릇에 전체 높이의 [eqn: 1 over 2]만큼 물을 채울 때, 물의 부피와 그릇의 부피의 비를 구하시오.

6

축척이 [eqn: 1 over 25000]인 지도에서 공원에서 지하철역까지의 직선 도로의 길이를 자로 재었더니 [eqn: 6 rm``cm]이었다. 실제로 공원에서 지하철역까지의 직선 도로를 시속 [eqn: 5 rm``km]로 걸어갈 때 걸리는 시간은 몇 분인지 구하시오.

<정답 및 풀이>

Ⅱ- 3. 닮음의 활용

1 ③	2 [eqn: 8 over 3 rm``cm]	3 ④	4 ②	5 [eqn: 127:296]

6 [eqn: 18]분

1    ③

오른쪽 그림과 같이 점 [eqn: rmD]에서 [eqn: rm barBC]에 평행한 직선을 그어 [eqn: rm barAE]와 만나는 점을 [eqn: rmG]라 하면 [eqn: rm triangleDGF]와 [eqn: rm triangleBEF]에서

[eqn: rm{bar{DF}} = {bar{BF}}], [eqn: rm angleGDF = angleEBF] (엇각),

[eqn: rm angleDFG = angleBFE] (맞꼭지각)

이므로   [eqn: rm triangleDGF == triangleBEF] ([eqn: rmASA] 합동)

즉 [eqn: rm barGF = barEF = 8``(cm)]이므로

[eqn: rm bar{G E} = barGF + barEF = 8+8=16``(cm)]

[eqn: rm triangleAEC]에서 [eqn: rm barAD = barDC], [eqn: rm barGD ⫽barEC]이므로

[eqn: rm barAG = bar{G E} = 16``(cm)]

[eqn: therefore~ rm barAF = barAG + barGF = 16+8=24``(cm)]

2    [eqn: 8 over 3 rm``cm]

오른쪽 그림과 같이 직선 [eqn: rmCG']과 [eqn: rm barAB]의 교점을 [eqn: rmE]라 하면 두 점 [eqn: rmG], [eqn: rm G']이 각각 [eqn: rm triangleABC], [eqn: rm triangleDBC]의 무게중심이므로

[eqn: rm barCG : barCD = barCG' : barCE = 2:3]

즉 [eqn: rm triangleCGG']□[eqn: rm triangleCDE] ([eqn: rmSAS] 닮음)이므로

[eqn: rm barGG' : barDE = 2:3]

이때 [eqn: rm barBD = 1 over 2 barAB = 1 over 2 times 16 = 8``(cm)]이므로

[eqn: rm barDE = 1 over 2 barDB = 1 over 2 times 8 = 4``(cm)]

따라서 [eqn: rm barGG' : 4 = 2:3]이므로

[eqn: 3 rm barGG' = 8]   [eqn: therefore~rm barGG' = 8 over 3`` (cm)]

3    ④

점 [eqn: rmG]가 [eqn: rm triangleABC]의 무게중심이므로

[eqn: rm barAG : barGD = 2:1]

이때 [eqn: rm barEF ⫽barBC], [eqn: rm barBD = barDC]이므로
[eqn: rm barEG = barGF]

[eqn: rmtherefore~ triangleGDF = triangleEDG = 10` `(cm^2 )]

[eqn: rm triangleAGF = 2 triangleGDF = 2 times 10 = 20 ``(rmcm^2 )]이므로

[eqn: rm triangleADF = triangleAGF + triangleGDF = 20+10=30``(cm^2 )]

한편 [eqn: rm barAF : barFC = barAG : barGD = 2:1]이므로

[eqn: rm triangleDCF = 1 over 2 triangleADF = 1 over 2 times 30 = 15``(cm^2 )]

[eqn: rm therefore~□GDCF = triangleGDF + triangleDCF]

[eqn: = 10+15=25``(rmcm^2 )]

4    ②

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm barBD]를 긋고 [eqn: rm barAC]와 [eqn: rm barBD]의 교점을 [eqn: rmO]라 하면 [eqn: rm barBO = barOD],
[eqn: rm barAM = barMB], [eqn: rm barBN = barNC]이므로 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]는 각각 [eqn: rm triangleABD], [eqn: rm triangleBCD]의 무게중심이다.

따라서

[eqn: rm triangleAPD = 1 over 3 triangleABD], [eqn: rm triangleDQC = 1 over 3 triangleBCD]

이고 [eqn: rm triangleABD = triangleBCD]이므로

[eqn: rm triangleDQC = triangleAPD = 13``(cm^2 )]

또 [eqn: rm trianglePOD = 1 over 2 triangleAPD], [eqn: rm triangleQDO = 1 over 2 triangleDQC]이므로

[eqn: rm triangleACD = triangleAPD + trianglePOD + triangleQDO + triangleDQC]

[eqn: rm= triangle APD + 1 over 2 triangleAPD + 1 over 2 triangleDQC + triangleDQC]

[eqn: = 13+ 1 over 2 times 13 + 1 over 2 times 13 + 13][eqn: = 39``(rmcm^2 )]

5    [eqn: 127:296]

오른쪽 그림과 같이 원뿔대의 모선을 연장하여 원뿔을 만들고 세 원뿔의 밑면을 각각 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C`]라 하면 [eqn: A]와 [eqn: C`]의 넓이의 비가 [eqn: 16:9]이므로 반지름의 길이의 비는 [eqn: 4:3]이다. 이때 [eqn: A]와 [eqn: C`]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: 4a], [eqn: 3a][eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]라 하면 [eqn: B`]의 반지름의 길이는

[eqn: 1 over 2 (4a + 3a ) = 7 over 2 a]

이므로 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C`]의 닮음비는

[eqn: 4a : 7 over 2 a : 3a = 8:7:6]

즉 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C`]를 각각 밑면으로 하는 원뿔의 부피의 비는

[eqn: 8^3 : 7^3 : 6^3 = 512:343:216]

[eqn: therefore] (물의 부피) : (그릇의 부피)

[eqn: = (343-216):(512-216)]

[eqn: =127:296]

6    [eqn: 18]분

공원에서 지하철역까지의 직선 도로의 실제 거리는

[eqn: 6 `(rmcm)div 1 over 25000 = 6 times 25000 = 150000``(rmcm) = 1.5 ``(km)]

따라서 구하는 시간은

[eqn: 1.5 over 5 = 0.3] (시간)[eqn: =18] (분)